2027학년도 9월 모의평가 수학 문제 및 해설 | 정답·시험지·46문항 풀이

$$ 2^{3/2}\times4^{-1/2} =2^{3/2}\times(2^2)^{-1/2} =2^{3/2-1}=2^{1/2}. $$

주어진 극한은 $f'(2)$이다. $f'(x)=6x^2-1$이므로

$$f'(2)=24-1=23.$$

공차를 $d$라 하면 $a_{10}-a_7=3d=9$이므로 $d=3$이다. 따라서

$$a_7=a_2+5d=2+15=17.$$

$x=2$에서 좌우의 함수값이 같아야 하므로

$$14+a=4+2a,$$

따라서 $a=10$이다.

$$ \int_0^2(2x^3+6x^2-x)\,dx =\left[\frac{x^4}{2}+2x^3-\frac{x^2}{2}\right]_0^2 =8+16-2=22. $$

최댓값이 $a+2=5$이므로 $a=3$이다. 주기는 $2\pi b=8\pi$이므로 $b=4$. 따라서 $a+b=7$이다.

$$f'(x)=6x^2+2ax-4a.$$

$x=1$이 극솟값을 주므로 $f'(1)=6-2a=0$, 즉 $a=3$이다. 이때

$$f'(x)=6(x+2)(x-1),$$

따라서 극댓값은 $x=-2$에서 갖고

$$f(-2)=-16+12+24=20.$$

공비를 $r\,(r>0)$라 하면

$$\frac{1+r+r^2}{1+2r}=\frac73.$$

정리하면 $3r^2-11r-4=0$, 즉 $(3r+1)(r-4)=0$이다. $r>0$이므로 $r=4$이고

$$\frac{a_8}{a_6}=r^2=16.$$

1단계 — 위치를 미분해 속도를 구한다. 위치의 도함수가 속도이므로

$$v_P=12t^2-2t-11,\qquad v_Q=4t+7.$$

2단계 — 두 속도가 같은 시각을 찾는다.

$$12t^2-2t-11=4t+7 \iff 2t^2-t-3=0 \iff (2t-3)(t+1)=0.$$

시각은 $t\ge0$이므로 $t=-1$은 버리고 $t=\frac32$만 택한다.

3단계 — 속도를 한 번 더 미분해 가속도를 구한다.

$$p=24t-2=34,\qquad q=4,$$

따라서 $p-q=30$이다.

1단계 — 각 교점의 $x$좌표를 구한다.

A에서는 $16a^x=7$이므로 $x_A=\log_a\frac7{16}$이고, B에서는 $\frac14a^x=7$이므로 $x_B=\log_a28$이다.

2단계 — 같은 수평선 위의 두 점이므로 거리와 $x$좌표 차가 같다. $a>1$이어서 로그함수가 증가하므로 $x_B>x_A$이고

$$ \overline{AB}=\log_a28-\log_a\frac7{16} =\log_a64=4. $$

3단계 — 로그식을 지수식으로 바꾼다. $\log_a64=4$는 $a^4=64=2^6$이라는 뜻이다. 따라서 $a=2^{3/2}=2\sqrt2$이다.

1단계 — 적분의 아래끝과 위끝이 같아지는 $x=-1$을 먼저 대입한다.

왼쪽 적분값은 $0$이고 오른쪽은 $-f(-1)+5$이므로 $f(-1)=5$이다.

2단계 — 주어진 등식을 미분한다. 미적분의 기본정리와 곱의 미분법을 적용하면

$$f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2-6x.$$

같은 항 $f(x)$를 지우면 $x\{f'(x)-6x-6\}=0$이다. 이 식은 모든 실수 $x$에서 성립하는 다항식의 항등식이므로

$$f'(x)=6x+6.$$

3단계 — 적분상수를 처음 구한 함수값으로 결정한다.

$$f(x)=3x^2+6x+C,\qquad f(-1)=C-3=5.$$

따라서 $C=8$이고 $f(0)=8$이다.

1단계 — 삼각형 ABC에서 외접원의 지름을 구한다. 코사인법칙으로

$$BC^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cdot\frac18=36,$$

따라서 $BC=6$이다. 또한

$$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\frac1{64}}=\frac{3\sqrt7}{8}.$$

외접원의 반지름을 $R$이라 하면 확장 사인법칙 $\frac{BC}{\sin\angle BAC}=2R$에서

$$2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{16}{\sqrt7}.$$

2단계 — 같은 원의 현 BD에 확장 사인법칙을 한 번 더 쓴다. $\angle BCD$가 현 BD를 바라보는 원주각이므로

$$BD=2R\sin\angle BCD =\frac{16}{\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt{14}}4 =4\sqrt2. $$

1단계 — 먼저 $f(x)$를 확정한다. 최고차항의 계수가 $6$이고 $f(0)=0$이므로 $f(x)=6x^2+bx$라 둘 수 있다.

$$\int_0^2f(x)dx=\left[2x^3+\frac b2x^2\right]_0^2=16+2b=4.$$

따라서 $b=-6$이고 $f(x)=6x(x-1)$이다.

2단계 — 각 보기의 적분 조건을 하나씩 확인한다.

• ㄱ. $f(x)$는 $0<x<1$에서 음수, $1<x<2$에서 양수이다. $\int_0^1f(x)dx=-1$이고 전체 적분이 $4$이므로, 음수 부분의 부호를 바꾸면 $\int_0^2|f(x)|dx=4-2(-1)=6$이다.
• ㄴ. $g(1)=0$인 일차함수는 $g(x)=m(x-1)$이다. 구간 $[0,2]$가 $x=1$에 대하여 대칭이고 $g$는 그 점을 중심으로 한 홀함수이므로 $\int_0^2g(x)dx=0$이다. 따라서 $\int_0^2(f+g)dx=4$이다.
• ㄷ. $h(x)=(k-6)(x-1)$로 둔다. 그러면 $\int_0^2h(x)dx=0$이다. 또한 $f+h=(x-1)(6x+k-6)$이고, $k>6$이면 두 번째 인수는 $[0,2]$에서 항상 양수이다. $u=x-1$로 바꾸면 $$\int_0^2|f+h|dx=\int_{-1}^{1}|u|(6u+k)du=k,$$ 이다. $6u|u|$는 홀함수여서 적분값이 $0$이고, $\int_{-1}^{1}|u|du=1$이기 때문이다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다.

1단계 — 어느 항에서만 분수가 생기는지 찾는다. $k$는 자연수이므로 항상 $f(k)=1/k$이다.

• $k=m^3$이면 $\sqrt[3]k=m$도 자연수이므로 $f(\sqrt[3]k)=1/m$이고, 해당 항은 $\frac{1/m}{5/k}=\frac{m^2}{5}$이다.
• $k$가 완전세제곱수가 아니면 $\sqrt[3]k$는 자연수가 아니므로 $f(\sqrt[3]k)=5$이고, 해당 항은 $\frac5{5/k}=k$라는 정수이다.

따라서 전체 합이 자연수인지 여부는 완전세제곱수에서 나오는 분수 부분만 보면 된다. 조건은

$$\sum_{m=1}^{\lfloor\sqrt[3]n\rfloor}m^2$$

이 $5$의 배수인 것이다.

2단계 — $n\le300$에서 가능한 값을 표로 확인한다.

합이 $5$의 배수인 경우는 $M=2,4,5$이다. 각각의 $n$ 범위와 개수는

• $M=2$: $8\le n\le26$, $19$개
• $M=4$: $64\le n\le124$, $61$개
• $M=5$: $125\le n\le215$, $91$개

따라서 전체 개수는

$$19+61+91=171.$$

1단계 — 극한이 실패하는 지점을 분모의 영점으로 해석한다. $f(x)=x^2+bx+c$라 두고 분모를 $x$에 관해 정리하면

$$f(x)+f(x-t)=2x^2+2(b-t)x+t^2-bt+2c.$$

이 이차식의 판별식은

$$\Delta=4(b^2-t^2-4c).$$

$t$가 커져 분모의 두 실근이 사라지는 경계부터 모든 $a$에서 극한이 존재하므로, 문제의 경계 $t=\frac32$에서 $\Delta=0$이다. 따라서

$$b^2-4c=\frac94.$$

2단계 — 경계에서 생기는 $0/0$의 차수를 맞춘다. $t=\frac32$일 때 분모는 어떤 $a=a_0$에서 이중근을 갖는다. 이 점에서도 유한한 극한이 존재하려면 분자 $(2x+1)f(x)$도 $x=a_0$에서 적어도 이중으로 $0$이 되어야 한다.

그런데 $b^2-4c=\frac94>0$이므로 $f$ 자체는 서로 다른 두 근을 가지며 이중근을 가질 수 없다. 따라서 이중 영점은 $2a_0+1=0$과 $f(a_0)=0$이 동시에 성립할 때만 생긴다. 즉

$$a_0=-\frac12,\qquad f\left(-\frac12\right)=0.$$

3단계 — 분모의 중근 위치로 $b$를 구한다. 위 이차식의 축은 $x=\frac{t-b}{2}$이므로

$$\frac{\frac32-b}{2}=-\frac12,$$

따라서 $b=\frac52$이다. 이제 $f(-\frac12)=0$에서

$$\frac14-\frac54+c=0\quad\Rightarrow\quad c=1.$$

그러므로

$$f(2)=2^2+\frac52\cdot2+1=10.$$

정의역에서 $x>3$이다. 밑을 3으로 통일하면 $(x-3)^2=2x-3$이고, 두 해 $2,6$ 중 정의역을 만족하는 값은 6이다.

$f(x)=2x^3-x^2+C$이고 $f(0)=10$이므로 $C=10$. 따라서 $f(1)=11$이다.

점화식을 차례로 적용하면

$$28\to14\to7\to26\to13\to38,$$

따라서 $a_6=38$이다.

접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $3t^2-6t-1=8$에서 $t=-1,3$이다. $y$절편이 양수인 경우는 $t=-1$이며 접선은 $y=8x+7$이다. 따라서 $(1,k)$에서 $k=15$이다.

1단계 — 교점과 대칭점의 좌표를 정리한다. A의 $x$좌표를 $a$라 하면 $A=(a,\sin a)$이다. A는 제1사분면에 있고 $\sin a=-k\cos a>0$이므로 $\frac\pi2<a<\pi$이다.

$f(x+\pi)=-f(x)$, $g(x+\pi)=-g(x)$이므로 제4사분면의 다른 교점은

$$B=(a+\pi,-\sin a).$$

또 $g(x)=-\sin a$인 두 점의 $x$좌표는 $a+\pi$와 $\pi-a$이므로

$$D=(\pi-a,-\sin a).$$

따라서 $p(a)=a+\pi$, $q(a)=\pi-a$이다. 참고로 $g(x)=\sin a$인 A 이외의 점은 $C=(2\pi-a,\sin a)$이다.

2단계 — 두 삼각형의 밑변과 높이를 좌표로 계산한다.

DB는 수평선 위의 선분이므로 길이가 $(a+\pi)-(\pi-a)=2a$이고, C에서 DB까지의 높이는 $2\sin a$이다. 따라서

$$[\triangle CDB]=\frac12(2a)(2\sin a)=2a\sin a.$$

A와 D의 좌표로 행렬식을 쓰면

$$[\triangle AOD]=\frac12\left|a(-\sin a)-(\pi-a)\sin a\right|=\frac{\pi\sin a}{2}.$$

3단계 — 넓이의 비로 $a$를 구한다.

$$\frac{[\triangle CDB]}{[\triangle AOD]}=\frac{4a}{\pi}=\frac{14}{5},$$

따라서 $\alpha=a=\frac{7\pi}{10}$이다. 그러므로

$$3\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}=3\frac{17\pi/10}{3\pi/10}=17.$$

1단계 — $f$의 두 실근을 중근과 단순근으로 표현한다. 서로 다른 실근이 두 개인 최고차항 계수 $1$의 삼차함수이므로

$$f(x)=(x-r)^2(x-s)$$

로 둘 수 있다. $r$은 중근, $s$는 단순근이다.

2단계 — $g$가 어디에서 미분 불가능한지 본다. $f$는 단순근 $s$를 지나며 부호가 바뀐다. $f'(s)=(s-r)^2$이므로 $g$의 왼쪽 기울기는 $7(s-r)^2$, 오른쪽 기울기는 $-(s-r)^2$이다. 즉 기울기가 $8(s-r)^2$만큼 내려가는 뾰족점이 생긴다.

이를 $|(x-1)(x-a)(x-4+a)|$의 뾰족점이 같은 위치에서 정확히 상쇄해야 한다. 다른 위치에 단순근이 하나라도 더 있으면 그곳에 새로운 뾰족점이 남으므로, 세 근 $1,a,4-a$ 중 두 근은 같아야 한다. 따라서

$$a=1,\ 2,\ 3.$$

3단계 — 각 경우에 좌우 기울기의 크기를 맞춘다. $w(x)=(x-1)(x-a)(x-4+a)$라 하면 단순근 $s$에서 $|w(x)|$의 기울기 증가는 $2|w'(s)|$이다. 따라서

$$2|w'(s)|=8(s-r)^2.$$

• $a=1,3$: $w(x)=(x-1)^2(x-3)$이므로 $s=3$, $|w'(3)|=4$이다. 따라서 $(3-r)^2=1$, 즉 $r=2,4$이고 $f(0)=-3r^2=-12,-48$이다.
• $a=2$: $w(x)=(x-1)(x-2)^2$이므로 $s=1$, $|w'(1)|=1$이다. 따라서 $(1-r)^2=\frac14$, 즉 $r=\frac12,\frac32$이고 $f(0)=-r^2=-\frac14,-\frac94$이다.

최댓값 $-\frac14$과 최솟값 $-48$의 곱은 12이다.

1단계 — 두 포물선의 평행이동 관계를 찾는다. 첫 번째 포물선을 $Q_1:y=q_1(x)$, 두 번째 포물선을 $Q_2:y=q_2(x)$라 하면

$$q_2(x)=q_1(x-1)-1.$$

즉 $Q_1$을 오른쪽으로 $1$, 아래로 $1$만큼 옮기면 $Q_2$가 된다.

2단계 — 직사각형의 대응 변 $AD$를 구한다. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(u,v)$라 하자. $Q_1$ 위 A, B의 $x$좌표를 $x_1,x_2$라 하면 현 AB의 기울기는

$$\frac{q_1(x_2)-q_1(x_1)}{x_2-x_1}=2(x_1+x_2)-\frac72.$$

Q₂ 위 D, C의 $x$좌표는 $x_1+u,x_2+u$이므로 현 DC의 기울기는

$$2(x_1+x_2+2u)-\frac{15}{2}.$$

AB와 DC가 평행하므로 두 식을 같게 두면 $u=1$이다. 또한 $q_2(x+1)=q_1(x)-1$이므로 $v=-1$이다. 따라서

$$D=A+(1,-1),\qquad C=B+(1,-1).$$

3단계 — 지수곡선 위의 교점이 놓이는 직선을 찾는다. $Q_1$과 $y=a^x$의 공통점 하나를 $(x,y)$라 하자. 이 점을 $(1,-1)$만큼 옮긴 $(x+1,y-1)$이 로그 곡선 위에도 있으므로

$$y-\frac34=\log_a\left(x+\frac34\right).$$

$y=a^x$와 함께 쓰고 $z=y-\frac34$라 두면

$$a^x=z+\frac34,\qquad a^z=x+\frac34.$$

$a>1$이므로 $a^t$는 증가한다. 만약 $x<z$라면 첫째 식의 오른쪽은 둘째 식의 오른쪽보다 커져 $z>x$와 반대의 결론이 나오고, $x>z$도 같은 방식으로 모순이다. 따라서 $x=z$, 즉 $y=x+\frac34$이다.

그러므로 A, B는 포물선 $Q_1$과 직선 $y=x+\frac34$의 두 교점이다.

$$2x^2-\frac72x+3=x+\frac34$$

을 정리하면 $8x^2-18x+9=0=(4x-3)(2x-3)$이므로 $x=\frac34,\frac32$이다. 두 교점은

$$\left(\frac34,\frac32\right),\qquad \left(\frac32,\frac94\right).$$

4단계 — 지수함수 조건으로 $a$를 결정한다. 두 점이 모두 $y=a^x$ 위에 있으므로 $a^{3/4}=\frac32$이고

$$a^3=\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16}.$$

따라서 $p+q=16+81=97$이다.