2027학년도 9월 모의평가 수학 문제 및 해설 | 정답·시험지·46문항 풀이
2027학년도 9월 모의평가 수학 영역
2027학년도 9월 모의평가 수학 문제지와 정답지를 내려받고, 공통·확률과 통계·미적분·기하 총 46문항의 문제와 풀이를 문항별로 확인할 수 있도록 정리했습니다.
46문항 문제·해설
과목과 문항 번호를 선택하세요. 문제 표시는 실제 시험지 그대로 보는 ‘시험지 PNG’와 검색·복사가 가능한 ‘HTML 텍스트’ 중에서 고를 수 있습니다. 문제를 먼저 풀고 싶다면 ‘문제만’, 채점 후 풀이만 보려면 ‘해설만’을 선택하면 됩니다.
공통 1번
2점$2^{\frac32}\times4^{-\frac12}$의 값은?
① $2^{-1}$
② $2^{-\frac12}$
③ $1$
④ $2^{\frac12}$
⑤ $2$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
$4=2^{2}$으로 밑을 통일하면 $2^{3/2}\times 4^{-1/2}=2^{3/2-1}=\sqrt{2}$이다. 지수법칙을 확인하는 수학Ⅰ 기본 문항이다.
해설
정답 ④$$ 2^{3/2}\times4^{-1/2} =2^{3/2}\times(2^2)^{-1/2} =2^{3/2-1}=2^{1/2}. $$
공통 2번
2점함수 $f(x)=2x^3-x-4$에 대하여
$$ \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} $$
의 값은?
① 19
② 21
③ 23
④ 25
⑤ 27
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
주어진 극한은 정의에 따라 $f'(2)$이다. $f'(x)=6x^{2}-1$이므로 $f'(2)=23$이다.
해설
정답 ③주어진 극한은 $f'(2)$이다. $f'(x)=6x^2-1$이므로
$$f'(2)=24-1=23.$$
공통 3번
3점등차수열 $\{a_n\}$에 대하여
$$a_2=2,\qquad a_{10}-a_7=9$$
일 때, $a_7$의 값은?
① 16
② 17
③ 18
④ 19
⑤ 20
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
등차수열의 공차를 $d$라 하면 $a_{10}-a_{7}=3d=9$이므로 $d=3$이다. 따라서 $a_{7}=a_{2}+5d=17$이다.
해설
정답 ②공차를 $d$라 하면 $a_{10}-a_7=3d=9$이므로 $d=3$이다. 따라서
$$a_7=a_2+5d=2+15=17.$$
공통 4번
3점함수
$$ f(x)= \begin{cases} 7x+a &(x\le2)\ x^2+ax &(x>2) \end{cases} $$
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은?
① 9
② 10
③ 11
④ 12
⑤ 13
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
$x=2$에서 연속이려면 좌우의 식이 주는 값이 같아야 한다. $14+a=4+2a$에서 $a=10$이다.
해설
정답 ②$x=2$에서 좌우의 함수값이 같아야 하므로
$$14+a=4+2a,$$
따라서 $a=10$이다.
공통 5번
3점$$\int_0^2(2x^3+6x^2-x)\,dx$$
의 값은?
① 22
② 24
③ 26
④ 28
⑤ 30
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
$\int_{0}^{2}(2x^{3}+6x^{2}-x)dx=[x^{4}/2+2x^{3}-x^{2}/2]_{0}^{2}=22$이다. 다항함수의 정적분을 정확히 계산하는 문항이다.
해설
정답 ①$$ \int_0^2(2x^3+6x^2-x)\,dx =\left[\frac{x^4}{2}+2x^3-\frac{x^2}{2}\right]_0^2 =8+16-2=22. $$
공통 6번
3점두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수
$$f(x)=a\sin\frac{x}{b}+2$$
의 최댓값이 5이고 주기가 $8\pi$일 때, $a+b$의 값은?
① 6
② $\frac{25}{4}$
③ $\frac{13}{2}$
④ $\frac{27}{4}$
⑤ 7
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
삼각함수의 최댓값 조건에서 $a+2=5$, 즉 $a=3$이다. 주기가 $2\pi b=8\pi $이므로 $b=4$, 따라서 $a+b=7$이다.
해설
정답 ⑤최댓값이 $a+2=5$이므로 $a=3$이다. 주기는 $2\pi b=8\pi$이므로 $b=4$. 따라서 $a+b=7$이다.
공통 7번
3점함수 $f(x)=2x^3+ax^2-4ax$가 $x=1$에서 극소일 때, $f(x)$의 극댓값은? (단, $a$는 상수이다.)
① 19
② 20
③ 21
④ 22
⑤ 23
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
$f'(x)=6x^{2}+2ax-4a$이고 $x=1$에서 극소이므로 $f'(1)=0$에서 $a=3$이다. 이때 $f'(x)=6(x+2)(x-1)$이므로 극대점은 $x=-2$, 극댓값은 $20$이다.
해설
정답 ②$$f'(x)=6x^2+2ax-4a.$$
$x=1$이 극솟값을 주므로 $f'(1)=6-2a=0$, 즉 $a=3$이다. 이때
$$f'(x)=6(x+2)(x-1),$$
따라서 극댓값은 $x=-2$에서 갖고
$$f(-2)=-16+12+24=20.$$
공통 8번
3점모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자.
$$\frac{S_3}{a_1+2a_2}=\frac73$$
일 때, $\frac{a_8}{a_6}$의 값은?
① 4
② 9
③ 16
④ 25
⑤ 36
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
등비수열의 공비를 $r>0$이라 하면 $(1+r+r^{2})/(1+2r)=7/3$이다. $(3r+1)(r-4)=0$에서 $r=4$이므로 $a_{8}/a_{6}=r^{2}=16$이다.
해설
정답 ③공비를 $r\,(r>0)$라 하면
$$\frac{1+r+r^2}{1+2r}=\frac73.$$
정리하면 $3r^2-11r-4=0$, 즉 $(3r+1)(r-4)=0$이다. $r>0$이므로 $r=4$이고
$$\frac{a_8}{a_6}=r^2=16.$$
공통 9번
4점수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다. 시각이 $t\,(t\ge0)$일 때 두 점 P, Q의 위치가 각각
$$x_1=4t^3-t^2-11t,\qquad x_2=2t^2+7t+3$$
이다. 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간 두 점 P, Q의 가속도를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p-q$의 값은?
① 30
② 33
③ 36
④ 39
⑤ 42
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
두 점의 속도는 각각 $12t^{2}-2t-11$, $4t+7$이다. 속도가 같은 $t=3/2$에서 가속도는 $p=34$, $q=4$이므로 $p-q=30$이다.
해설
정답 ①두 점의 속도는
$$v_P=12t^2-2t-11,\qquad v_Q=4t+7.$$
$v_P=v_Q$에서 $2t^2-t-3=0$이고 $t\ge0$이므로 $t=\frac32$이다. 가속도는
$$p=24t-2=34,\qquad q=4,$$
따라서 $p-q=30$이다.
공통 10번
4점상수 $a\,(a>1)$에 대하여 직선 $y=7$이 두 곡선
$$y=16a^x,\qquad y=\frac14a^x$$
과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. $\overline{AB}=4$일 때, $a$의 값은?
① $\sqrt2$
② 2
③ $2\sqrt2$
④ 4
⑤ $4\sqrt2$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
두 교점의 $x$좌표 차는 $\log_a 28-\log_a(7/16)=\log_a 64=4$이다. 따라서 $a^{4}=64$이고 $a>1$이므로 $a=2\sqrt{2}$이다.
해설
정답 ③두 교점의 $x$좌표는 각각 $\log_a\frac7{16}$, $\log_a28$이다. 두 점은 $y=7$ 위에 있으므로
$$ \overline{AB}=\log_a28-\log_a\frac7{16} =\log_a64=4. $$
따라서 $a^4=64$이고 $a>1$이므로 $a=2\sqrt2$이다.
공통 11번
4점다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
$$ \int_{-1}^{x}f(t)\,dt=xf(x)-2x^3-3x^2+6 $$
을 만족시킬 때, $f(0)$의 값은?
① 6
② 7
③ 8
④ 9
⑤ 10
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
원식에 $x=-1$을 대입하면 $f(-1)=5$이다. 양변을 미분하여 $f'(x)=6x+6$을 얻고 $f(x)=3x^{2}+6x+C$에 앞 조건을 적용하면 $C=8$, 따라서 $f(0)=8$이다.
해설
정답 ③$x=-1$을 대입하면 $0=-f(-1)+5$이므로 $f(-1)=5$이다. 양변을 미분하면
$$f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2-6x.$$
다항함수이므로 $f'(x)=6x+6$이고 $f(x)=3x^2+6x+C$이다. $f(-1)=5$에서 $C=8$, 따라서 $f(0)=8$이다.
공통 12번
4점그림과 같이 $\overline{AB}=4$, $\overline{AC}=5$, $\cos(\angle BAC)=\frac18$인 삼각형 ABC의 외접원에서 점 A를 포함하지 않는 호 BC 위에 점 D가 있다. $\sin(\angle BCD)=\frac{\sqrt{14}}4$일 때, 선분 BD의 길이는?
① $2\sqrt7$
② $\frac{12\sqrt5}{5}$
③ $\frac{7\sqrt{10}}4$
④ $4\sqrt2$
⑤ $\frac{9\sqrt{10}}5$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
코사인법칙으로 $BC=6$, $\sin\angle BAC=3\sqrt{7}/8$을 얻는다. 확장 사인법칙에서 외접원의 지름은 $16/\sqrt{7}$이고, 같은 원의 현 $BD$에 다시 적용하면 $BD=4\sqrt{2}$이다.
해설
정답 ④코사인법칙으로
$$BC^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cdot\frac18=36,$$
따라서 $BC=6$이다. 또한
$$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\frac1{64}}=\frac{3\sqrt7}{8}.$$
외접원의 반지름을 $R$이라 하면 확장 사인법칙에서
$$2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{16}{\sqrt7}.$$
같은 원에서 현 BD에 대하여
$$BD=2R\sin\angle BCD =\frac{16}{\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt{14}}4 =4\sqrt2. $$
공통 13번
4점최고차항의 계수가 6인 이차함수 $f(x)$가
$$f(0)=0,\qquad \int_0^2f(x)\,dx=4$$
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. $\displaystyle\int_0^2|f(x)|\,dx=6$
ㄴ. $g(1)=0$인 일차함수 $g(x)$에 대하여 $\displaystyle\int_0^2(f(x)+g(x))\,dx=4$이다.
ㄷ. $k>6$인 각각의 실수 $k$에 대하여, $\displaystyle\int_0^2(f(x)+h(x))\,dx=4$와 $\displaystyle\int_0^2|f(x)+h(x)|\,dx=k$를 동시에 만족시키는 일차함수 $h(x)$가 존재한다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
$f(x)=6x^{2}+bx$로 놓고 $\int_{0}^{2}f(x)dx=4$를 적용하면 $b=-6$, 즉 $f(x)=6x(x-1)$이다.
해설
정답 ⑤$f(x)=6x^2+bx$라 두면 $\int_0^2f(x)dx=16+2b=4$이므로 $b=-6$이고 $f(x)=6x(x-1)$이다.
- ㄱ: $\int_0^1f(x)dx=-1$이므로 $\int_0^2|f(x)|dx=4-2(-1)=6$이다.
- ㄴ: $g(1)=0$인 일차함수는 $g(x)=m(x-1)$이고 $\int_0^2g(x)dx=0$이다.
- ㄷ: $h(x)=(k-6)(x-1)$로 두면 $k>6$에서 $\int_0^2h=0$이고 $\int_0^2|f+h|dx=k$이다.
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳다.
공통 14번
4점실수 전체의 집합에서 정의된 함수
$$ f(x)= \begin{cases} 5 &(x\text{가 자연수가 아닌 경우})\ \dfrac1x &(x\text{가 자연수인 경우}) \end{cases} $$
에 대하여,
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}$$
의 값이 자연수가 되도록 하는 300 이하의 자연수 $n$의 개수는?
① 135
② 144
③ 153
④ 162
⑤ 171
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
$k$는 자연수이므로 $f(k)=1/k$이다. $k=m^{3}$이면 $f(\sqrt[3]{k})=1/m$이어서 해당 항은 $m^{2}/5$; 완전세제곱수가 아니면 $f(\sqrt[3]{k})=5$이어서 해당 항은 정수 $k$가 된다. 따라서 합이 자연수일 필요충분조건은
해설
정답 ⑤$k=m^3$이면 해당 항은 $\frac{m^2}{5}$이고, 완전세제곱수가 아니면 해당 항은 정수 $k$이다. 따라서 합이 자연수일 조건은
$$\sum_{m=1}^{\lfloor\sqrt[3]n\rfloor}m^2$$
이 5의 배수인 것이다. $n\le300$에서 이는 $\lfloor\sqrt[3]n\rfloor=2,4,5$일 때이고, 개수는
$$19+61+91=171.$$
공통 15번
4점최고차항의 계수가 1인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은?
모든 실수 $a$에 대하여 $$ \lim_{x\to a}\frac{(2x+1)f(x)}{f(x)+f(x-t)} $$ 의 값이 존재하도록 하는 양수 $t$의 집합은 $\left\{t\mid t\ge\frac32\right\}$이다.
① $\frac52$
② 5
③ $\frac{15}{2}$
④ 10
⑤ $\frac{25}{2}$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
$f(x)=x^{2}+bx+c$라 두면 분모 $f(x)+f(x-t)$는 $x$에 관한 이차식이고 판별식은 $4(b^{2}-t^{2}-4c)$이다. 모든 $a$에서 극한이 존재하는 $t$의 집합이 $t\ge 3/2$이므로, 분모가 실근을 갖지 않기 시작하는 경계가 $t=3/2$이다. 따라서
해설
정답 ④$f(x)=x^2+bx+c$라 두면 $f(a)+f(a-t)$를 $a$의 이차식으로 보았을 때 판별식은 $4(b^2-t^2-4c)$이다. 모든 $a$에서 극한이 존재하기 시작하는 경계가 $t=\frac32$이므로
$$b^2-4c=\frac94.$$
끝점 $t=\frac32$에서 분모가 이중으로 0이 되는 점에서도 극한이 존재하려면 분자 $(2a+1)f(a)$도 이중으로 0이어야 한다. 따라서 그 점은 $a=-\frac12$이고 $f(-\frac12)=0$이다. 이로부터 $b=\frac52$, $c=1$이므로 $f(2)=10$이다.
공통 16번
3점방정식
$$\log_3(x-3)=\log_9(2x-3)$$
을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
로그의 정의역에서 $x>3$이다. 밑을 $3$으로 통일하면 $(x-3)^{2}=2x-3$이고, 두 대수적 해 $2, 6$ 중 정의역을 만족하는 값은 $6$이다.
해설
정답 6정의역에서 $x>3$이다. 밑을 3으로 통일하면 $(x-3)^2=2x-3$이고, 두 해 $2,6$ 중 정의역을 만족하는 값은 6이다.
공통 17번
3점다항함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=6x^2-2x$이고 $f(0)=10$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
주어진 도함수를 적분하면 $f(x)=2x^{3}-x^{2}+C$이다. $f(0)=10$에서 $C=10$이므로 $f(1)=11$이다.
해설
정답 11$f(x)=2x^3-x^2+C$이고 $f(0)=10$이므로 $C=10$. 따라서 $f(1)=11$이다.
공통 18번
3점수열 $\{a_n\}$은 $a_1=28$이고 모든 자연수 $n$에 대하여
$$ a_{n+1}= \begin{cases} \dfrac12a_n &(a_n\text{이 짝수인 경우})\ 2a_n+12 &(a_n\text{이 홀수인 경우}) \end{cases} $$
를 만족시킬 때, $a_6$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
점화식의 홀짝 조건을 매 단계 적용하면 $28\to 14\to 7\to 26\to 13\to 38$이다. 따라서 $a_{6}=38$이다.
해설
정답 38점화식을 차례로 적용하면
$$28\to14\to7\to26\to13\to38,$$
따라서 $a_6=38$이다.
공통 19번
3점기울기가 8이고 $y$절편이 양수인 직선이 곡선
$$y=x^3-3x^2-x+2$$
에 접할 때, 이 직선은 점 $(1,k)$를 지난다. $k$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 기울기 조건에서 $3t^{2}-6t-1=8$, 즉 $t=-1, 3$이다. $y$절편이 양수인 접선은 $t=-1$일 때의 $y=8x+7$이므로 $(1,k)$에서 $k=15$이다.
해설
정답 15접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $3t^2-6t-1=8$에서 $t=-1,3$이다. $y$절편이 양수인 경우는 $t=-1$이며 접선은 $y=8x+7$이다. 따라서 $(1,k)$에서 $k=15$이다.
공통 20번
4점$0\le x\le2\pi$에서 정의된 두 함수
$$f(x)=\sin x,\qquad g(x)=-k\cos x\quad(k>1)$$
가 있다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 제1사분면에서 만나는 점을 A, 제4사분면에서 만나는 점을 B라 하자. 점 A를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=g(x)$과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 C라 하고, 점 B를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=g(x)$과 만나는 점 중 B가 아닌 점을 D라 하자.
$$ (\text{삼각형 CDB의 넓이}):(\text{삼각형 AOD의 넓이})=14:5 $$
일 때, 상수 $k$의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, O는 원점이다.)
점 A의 $x$좌표를 $a$라 하면
$$\mathrm B(\boxed{\text{가}},-\sin a),\qquad \mathrm D(\boxed{\text{나}},-\sin a).$$
삼각형 CDB의 넓이는
$$\frac12\times\overline{\mathrm{DB}}\times2\sin a$$
이고,
$$ (\text{삼각형 AOD의 넓이}) =\frac5{14}\times(\text{삼각형 CDB의 넓이}) $$
이므로 $a=\boxed{\text{다}}$이다. 따라서
$$k=-\tan(\boxed{\text{다}})$$
이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $p(a)$, $q(a)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $\alpha$라 하자. $3\times\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
점 A의 $x$좌표를 $a$라 하면 교점 조건에서 $\sin a=-k \cos a$, 즉 $k=-\tan a$이다. 삼각함수의 대칭성과 주기를 이용하면
해설
정답 17A의 $x$좌표를 $a$라 하면
$$B=(a+\pi,-\sin a),\qquad D=(\pi-a,-\sin a).$$
따라서 $p(a)=a+\pi$, $q(a)=\pi-a$이다. 또한
$$[\triangle CDB]=2a\sin a,\qquad [\triangle AOD]=\frac{\pi\sin a}{2}.$$
넓이의 비에서 $4a/\pi=14/5$, 즉 $\alpha=7\pi/10$이다. 그러므로
$$3\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}=3\frac{17\pi/10}{3\pi/10}=17.$$
공통 21번
4점최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(0)$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.
(가) 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
(나) $$ g(x)= \begin{cases} -f(x) &(f(x)\ge0)\ 7f(x) &(f(x)<0) \end{cases} $$ 일 때, 어떤 실수 $a$에 대하여 함수 $$ h(x)=g(x)+|(x-1)(x-a)(x-4+a)| $$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅱ
서로 다른 실근이 두 개인 최고차항 계수 1의 삼차함수는 $f(x)=(x-r)^{2}(x-s)$처럼 중근 $r$과 단순근 $s$를 갖는다. 함수 $g$는 단순근 $s$에서 좌우의 기울기 계수가 $-1$과 $7$로 달라져 뾰족점이 생기므로, 절댓값항의 단순근이 같은 위치에서 그 차이를 정확히 상쇄해야 한다.
해설
정답 12$f(x)=(x-r)^2(x-s)$에서 $s$를 단순근이라 하자. $g$의 좌우 미분계수가 달라지는 단순근과 절댓값항의 뾰족점이 정확히 상쇄되어야 하므로 $(x-1)(x-a)(x-4+a)$는 중근 하나와 단순근 $s$ 하나를 가져야 한다. 따라서 $a=1,2,3$이다.
- $a=1,3$: $s=3$이고 상쇄 조건에서 $(3-r)^2=1$. $r=2,4$이므로 $f(0)=-12,-48$이다.
- $a=2$: $s=1$이고 $(1-r)^2=\frac14$. $r=\frac12,\frac32$이므로 $f(0)=-\frac14,-\frac94$이다.
최댓값 $-\frac14$과 최솟값 $-48$의 곱은 12이다.
공통 22번
4점상수 $a\,(a>1)$과 직사각형 ABCD가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 두 곡선 $y=a^x$, $y=2x^2-\frac72x+3$은 모두 점 A와 점 B를 지난다.
(나) 두 곡선 $y=\log_a\left(x-\frac14\right)-\frac14$, $y=2x^2-\frac{15}{2}x+\frac{15}{2}$은 모두 점 C와 점 D를 지난다.
$a^3=\frac qp$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수학Ⅰ
첫째 포물선을 $Q_{1}$, 둘째 포물선을 $Q_{2}$라 하면 $Q_{2}$는 $Q_{1}$을 $(1,-1)$만큼 평행이동한 그래프다. 직사각형에서 $AD=BC=(u,v)$라 두고, 평행한 두 현 AB와 DC의 기울기를 두 이차함수에서 비교하면 $u=1$; 평행이동 관계에서 $v=-1$이다. 따라서 $D=A+(1,-1)$, $C=B+(1,-1)$이다. 실제 직사각형의 변 기울기는 $1$과 $-1$이며 좌표축과 평행하지 않다.
해설
정답 97첫 번째 포물선을 $Q_1:y=q_1(x)$, 두 번째 포물선을 $Q_2:y=q_2(x)$라 하면
$$q_2(x)=q_1(x-1)-1.$$
직사각형에서 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(u,v)$라 하자. 두 평행한 현 AB, DC의 기울기를 두 포물선에서 비교하면 $u=1$이고, 위의 평행이동 관계에서 $v=-1$이다. 따라서
$$D=A+(1,-1),\qquad C=B+(1,-1).$$
$Q_1$과 $y=a^x$의 공통점 하나를 $(x,y)$라 하자. 이 점을 $(1,-1)$만큼 옮긴 $(x+1,y-1)$이 로그 곡선 위에도 있으므로
$$y-\frac34=\log_a\left(x+\frac34\right).$$
$y=a^x$와 함께 쓰고 $z=y-\frac34$라 두면
$$a^x=z+\frac34,\qquad a^z=x+\frac34.$$
함수 $a^t$는 증가하므로 $x<z$ 또는 $x>z$는 두 등식의 대소 관계와 모순이다. 따라서 $x=z$, 즉 $y=x+\frac34$이다. 그러므로 A, B는 포물선 $Q_1$과 직선 $y=x+\frac34$의 두 교점이다.
$$2x^2-\frac72x+3=x+\frac34$$
을 풀면 $x=\frac34,\frac32$이고, 첫 번째 두 교점은
$$\left(\frac34,\frac32\right),\qquad \left(\frac32,\frac94\right).$$
두 점이 모두 $y=a^x$ 위에 있으므로 $a^{3/4}=\frac32$이고
$$a^3=\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16}.$$
따라서 $p+q=16+81=97$이다.
확률과 통계 23번
2점다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 3, 3을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?
① 20
② 24
③ 28
④ 32
⑤ 36
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 경우의 수
다섯 자리 중 같은 숫자 $3$이 세 개이므로 서로 다른 배열 수는 $5!/3!=20$이다. 따라서 답은 ①이다.
해설
정답 ①같은 숫자 3이 세 개이므로 경우의 수는 $\frac{5!}{3!}=20$이다.
확률과 통계 24번
3점두 사건 A, B에 대하여
$$\mathrm P(B\mid A)=\frac23,\qquad \mathrm P(A^C)=\frac25$$
일 때, $\mathrm P(A\cap B)$의 값은?
① $\frac1{10}$
② $\frac15$
③ $\frac3{10}$
④ $\frac25$
⑤ $\frac12$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 확률
곱셈정리에서 $P(A∩B)=P(B|A)P(A)=(2/3)(3/5)=2/5$이다. 따라서 답은 ④이다.
해설
정답 ④$P(A)=\frac35$이므로
$$P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)=\frac23\cdot\frac35=\frac25.$$
확률과 통계 25번
3점$$\left(2x^3+\frac1{x^2}\right)^4$$
의 전개식에서 $x^2$의 계수는?
① 8
② 12
③ 16
④ 20
⑤ 24
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 경우의 수
전개에서 $2x^{3}$을 $k$번 고르면 $x$의 지수는 $3k-2(4-k)=5k-8$이다. 이것이 $2$이려면 $k=2$이고 계수는 $C(4,2)\cdot 2^{2}=24$이므로 답은 ⑤이다.
해설
정답 ⑤$(2x^3)$을 $k$번 선택할 때 지수는 $3k-2(4-k)=5k-8$이다. 이것이 2이려면 $k=2$이므로 계수는
$$\binom42 2^2=24.$$
확률과 통계 26번
3점한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 $a$, $b$라 하자. $a$가 3 이하이거나 $a\times b$가 8의 배수일 확률은?
① $\frac59$
② $\frac{11}{18}$
③ $\frac23$
④ $\frac{13}{18}$
⑤ $\frac79$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 확률
여사건, 즉 $a\ge 4$이면서 $ab$가 $8$의 배수가 아닌 경우를 센다. $a=4,5,6$일 때 각각 $3,6,5$가지이므로 확률은 $(36-14)/36=11/18$, 답은 ②이다.
해설
정답 ②여사건 $a\ge4$이고 $ab$가 8의 배수가 아닌 경우는 $a=4,5,6$일 때 각각 3, 6, 5가지이다. 따라서
$$P=\frac{36-14}{36}=\frac{11}{18}.$$
확률과 통계 27번
3점정규분포 $\mathrm N(1,\sigma^2)$을 따르는 확률변수 $X$에 대하여
$$\mathrm P\left(\frac32\sigma\le X\le2\sigma\right)=0.044$$
일 때, $\mathrm P\left(X\ge\frac{10}{7}\right)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, $\sigma$는 양수이다.)
| $z$ | $\mathrm P(0\le Z\le z)$ |
|---|---|
| 0.5 | 0.1915 |
| 1.0 | 0.3413 |
| 1.5 | 0.4332 |
| 2.0 | 0.4772 |
| 2.5 | 0.4938 |
① 0.0062
② 0.0228
③ 0.0668
④ 0.1587
⑤ 0.3085
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 통계
$Z=(X-1)/\sigma $로 표준화한다. 확률 $0.044$인 길이 $0.5$의 구간이 표준정규분포에서 $[-2,-1.5]$에 대응하므로 $\sigma =2/7$; 다시 $10/7$을 표준화하면 $1.5$이므로 꼬리확률은 $0.5-0.4332=0.0668$, 답은 ③이다.
해설
정답 ③$Z=\frac{X-1}{\sigma}$로 표준화한다. 확률 0.044인 길이 0.5의 구간은 표에서 $[-2,-1.5]$이므로
$$\frac{\frac32\sigma-1}{\sigma}=-2,$$
따라서 $\sigma=\frac27$이다. 또한 $\frac{10/7-1}{2/7}=1.5$이므로
$$P\left(X\ge\frac{10}{7}\right)=0.5-0.4332=0.0668.$$
확률과 통계 28번
4점문자 A가 적힌 3장의 카드와 문자 B가 적힌 3장의 카드가 1번째 자리에서부터 차례로 A, A, A, B, B, B가 보이도록 놓여 있다. 이 6장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때, $k\le5$이면 $k$번째 자리의 카드와 $(k+1)$번째 자리의 카드를 서로 바꾸어 놓고, $k=6$이면 놓여 있는 6장의 카드를 그대로 둔다.
이 시행을 4번 반복한 후 6장의 카드가 다시 A, A, A, B, B, B가 보이도록 놓여 있을 때, 3번째 시행에서 나온 눈의 수가 6일 확률은?
① $\frac{71}{373}$
② $\frac{69}{373}$
③ $\frac{73}{371}$
④ $\frac{71}{371}$
⑤ $\frac{69}{371}$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 확률
각 시행 뒤의 여섯 자리 배열을 하나의 상태로 두고, 주사위 눈에 따라 인접한 두 자리의 교환 여부를 반영한다. 네 번의 시행을 전이시킨 결과, 세 번째 눈이 $1,2,3,4,5,6$일 때 마지막 배열이 조건을 만족하는 경우의 수는 각각 $138,131,66,131,138,138$이다.
해설
정답 ⑤배열을 상태로 두고 4회의 모든 눈의 순서 $6^4$개를 전이시킨다. 세 번째 눈별로 마지막 배열이 AAABBB가 되는 경우의 수는 다음과 같다.
| 세 번째 눈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 합계 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 경우의 수 | 138 | 131 | 66 | 131 | 138 | 138 | 742 |
따라서 조건부확률은
$$\frac{138}{742}=\frac{69}{371}.$$
확률과 통계 29번
4점다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 구하시오.
(가) $a+b+c+d=14$
(나) $10a\ge d$이고 $c<d^2$이다.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 경우의 수
양의 정수해 전체는 별과 막대 방법으로 $C(13,3)=286$개다. $c<d^{2}$을 위반하는 경우는 $d=1$에서 66개, $d=2$에서 28개, $d=3$에서 1개로 총 95개다. $10a\ge d$를 위반하는 경우는 $(a,b,c,d)=(1,1,1,11)$ 한 개이고 앞의 95개와 겹치지 않는다.
해설
정답 190양의 정수해 전체는 별과 막대 방법으로
$$\binom{13}{3}=286$$
개이다.
$c<d^2$을 만족하지 않는 경우를 센다.
- $d=1$: $a+b+c=13$이므로 $\binom{12}{2}=66$개
- $d=2$: $c\ge4$. $c'=c-3$으로 두면 $a+b+c'=9$이므로 $\binom82=28$개
- $d=3$: $c\ge9$이고 $a+b+c=11$이므로 $(a,b,c)=(1,1,9)$ 한 개
- $d\ge4$: 합 조건상 $c<d^2$이 자동으로 성립
따라서 이 조건을 위반하는 경우는 $95$개이다. $10a\ge d$를 위반하는 경우는 $(a,b,c,d)=(1,1,1,11)$ 한 개이고 앞의 95개와 겹치지 않는다. 그러므로
$$286-95-1=190.$$
확률과 통계 30번
4점숫자 0, 1, 2가 각각 하나씩 적혀 있는 세 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 5번 반복하여 확인한 5개의 수의 평균을 $\overline X$라 할 때,
$$ \sum_{k=1}^{10}\left(k^2\times\mathrm P\left(\overline X=\frac{k}{5}\right)\right)=a $$
이다. $6\times a$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 통계
한 번 확인한 수를 $Y$라 하면 $E(Y)=1$, $Var(Y)=2/3$이다. 다섯 번의 합을 $S$라 하면 $E(S)=5$, $Var(S)=10/3$이다. 문제의 시그마는 $S=0$인 항이 0이므로 그대로 $E(S^2)$와 같다.
해설
정답 170한 번 확인한 수를 $Y$라 하면
$$E(Y)=1,\qquad \operatorname{Var}(Y)=\frac23.$$
5번 확인한 수의 합을 $S$라 하면 $\overline X=S/5$이고
$$a=\sum_{k=1}^{10}k^2P(S=k)=E(S^2).$$
($S=0$인 항은 어차피 0이다.) 따라서
$$E(S)=5,\qquad \operatorname{Var}(S)=\frac{10}{3},$$
$$a=E(S^2)=\operatorname{Var}(S)+\{E(S)\}^2=\frac{10}{3}+25=\frac{85}{3}.$$
그러므로 $6a=170$이다.
미적분 23번
2점$$\lim_{x\to0}\frac{x}{\ln(2x+1)}$$
의 값은?
① $\frac15$
② $\frac14$
③ $\frac13$
④ $\frac12$
⑤ 1
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 미분법
$x\to 0$에서 $\ln(1+2x)~2x$를 이용하면 주어진 극한은 $1/2$이다. 따라서 답은 ④이다.
해설
정답 ④$\ln(1+2x)\sim2x\ (x\to0)$이므로 극한값은 $\frac12$이다.
미적분 24번
3점$$\int_0^1(3x+1)e^x\,dx$$
의 값은?
① $e+2$
② $2e$
③ $e+3$
④ $2e+1$
⑤ $2e+2$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 적분법
부분적분으로 $\int(3x+1)e^{x}dx=(3x-2)e^{x}+C$이다. 구간 $[0,1]$에 대입하면 $e+2$이므로 답은 ①이다.
해설
정답 ①$$\int(3x+1)e^x\,dx=(3x-2)e^x+C.$$
따라서
$$[(3x-2)e^x]_0^1=e+2.$$
미적분 25번
3점정수 $k$에 대하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을
$$a_n=\left(\frac{k^2-20}{16}\right)^n$$
이라 하자. 수열 $\{a_n\}$이 수렴하도록 하는 $k$의 개수는?
① 2
② 5
③ 8
④ 11
⑤ 14
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수열의 극한
$r=(k^{2}-20)/16$이라 두면 **수열 $r^{n}$**이 수렴할 조건은 $-1<r\le 1$이다. 따라서 $4<k^{2}\le 36$, 즉 $k=\pm 3,\pm 4,\pm 5,\pm 6$으로 모두 $8$개이며 답은 ③이다. $r=1$은 수렴하고 $r=-1$은 수렴하지 않는 끝점 구분이 핵심이다.
해설
정답 ③$r=\frac{k^2-20}{16}$라 하면 $r^n$이 수렴하기 위한 조건은 $-1<r\le1$이다. 따라서
$$-1<\frac{k^2-20}{16}\le1 \iff4<k^2\le36.$$
$k=\pm3,\pm4,\pm5,\pm6$으로 모두 8개이다. 특히 $r=1$은 수렴하고 $r=-1$은 수렴하지 않는다는 끝점 처리가 핵심이다.
미적분 26번
3점곡선 $y=\frac{2}{x^2+x}\,(x>0)$ 위의 점 $(1,1)$에서의 접선을 $l$이라 하자. 곡선 $y=\frac{2}{x^2+x}\,(x>0)$과 직선 $l$ 및 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이는?
① $2\ln\frac43-\frac13$
② $2\ln\frac43-\frac14$
③ $2\ln\frac43-\frac18$
④ $2\ln\frac32-\frac14$
⑤ $2\ln\frac32-\frac18$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 적분법
$F(x)=2/(x^{2}+x)$라 하면 $x=1$에서의 접선은 $y=-3x/2+5/2$이다. 곡선과 접선 사이의 넓이는 $\int_{1}^{2}{2/(x^{2}+x)+3x/2-5/2}dx=2\ln(4/3)-1/4$이므로 답은 ②이다.
해설
정답 ②$F(x)=\frac2{x^2+x}$라 하면 $F'(1)=-\frac32$이므로 접선은
$$l:y=-\frac32x+\frac52.$$
구하는 넓이는
$$ \int_1^2\left(\frac2{x^2+x}+\frac32x-\frac52\right)dx =2\ln\frac43-\frac14. $$
미적분 27번
3점함수 $f(x)=(\ln x)^3-3\ln x$에 대하여 $x\ge-2$에서 정의된 함수 $g(x)$는 $x>-2$에서 미분가능하고 $t\ge e$인 모든 실수 $t$에 대하여 $g(f(t))=t^2$을 만족시킨다.
$x>\frac1e$에서 정의된 함수 $h(x)=g(f(x))$에 대하여 $h'(1)$의 값은?
① $-\frac{e^{2\sqrt3}}3$
② $-\frac{2e^{2\sqrt3}}5$
③ $-\frac{e^{2\sqrt3}}2$
④ $-\frac{2e^{2\sqrt3}}3$
⑤ $-e^{2\sqrt3}$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 미분법
$g$는 $f$의 역함수가 아니다. 주어진 관계는 오직 $t\ge e$에서 $g(f(t))=t^{2}$이므로 이를 연쇄법칙으로 미분해 $g'(f(t))f'(t)=2t$를 얻는다.
해설
정답 ⑤$t\ge e$에서 $f$는 증가하고 $g(f(t))=t^2$이다. $f(1)=0$이고 $t\ge e$에서 $f(t)=0$을 만족하는 값은 $\ln t=\sqrt3$, 즉 $t=e^{\sqrt3}$이다.
$$g'(f(t))f'(t)=2t.$$
$f'(t)=\frac{3[(\ln t)^2-1]}{t}$이므로 $t=e^{\sqrt3}$에서
$$g'(0)=\frac{e^{2\sqrt3}}3.$$
또 $f'(1)=-3$이므로
$$ h'(1)=g'(f(1))f'(1) =\frac{e^{2\sqrt3}}3\times(-3) =-e^{2\sqrt3}. $$
미적분 28번
4점점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원 $C$가 있다. $\overline{OA}=5$인 점 A에 대하여 선분 OA와 원 $C$가 만나는 점을 B라 하자. 점 A를 지나고 점 O를 지나지 않는 직선이 원 $C$와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점을 P, Q $(\overline{AP}<\overline{AQ})$라 하자. 점 Q를 포함하지 않는 호 BP와 두 선분 AB, AP로 둘러싸인 도형의 넓이를 $t$라 할 때, $\angle OPQ=f(t)$라 하면 $f(t)$는 미분가능한 함수이다.
$\tan f(k)=\frac32$인 실수 $k$에 대하여 $f'(k)$의 값은?
① $\frac7{13}$
② $\frac{15}{26}$
③ $\frac8{13}$
④ $\frac{17}{26}$
⑤ $\frac9{13}$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 미분법
$\angle BOP=\theta $라 두면 $P=(2\cos\theta ,2\sin\theta )$이고, 영역의 넓이는 삼각형에서 활꼴을 빼어 $t=5\sin\theta -2\theta $이다. 벡터와 삼각비로 $\tan f=10\sin\theta /(10\cos\theta -4)$를 얻는다.
해설
정답 ④$\angle BOP=\theta$라 두면 $P=(2\cos\theta,2\sin\theta)$이다. 영역의 넓이는
$$t=\triangle ABP-\text{활꼴 }BP=3\sin\theta-(2\theta-2\sin\theta)=5\sin\theta-2\theta.$$
또 벡터로 각을 계산하면
$$\tan f=\frac{10\sin\theta}{10\cos\theta-4}.$$
$\tan f=\frac32$에서 $\cos\theta=\frac45$, $\sin\theta=\frac35$이다. 미분하면
$$ \frac{df}{d\theta}=\frac{5(5-2\cos\theta)}{29-20\cos\theta}, \qquad \frac{dt}{d\theta}=5\cos\theta-2. $$
따라서
$$f'(k)=\frac{df/d\theta}{dt/d\theta}=\frac{17}{26}.$$
미적분 29번
4점수열 $\{a_n\}$은 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$에 대하여
$$ b_n= \begin{cases} a_n-a_1 &(\lvert a_n\rvert\ge10)\ (a_n)^2 &(\lvert a_n\rvert<10) \end{cases} $$
이라 하자. 수열 $\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $(b_2)^2=36b_3$
(나) 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$은 수렴하고 그 합은 12이다.
$a_1>0$이고 $a_2<0$일 때, $36\times a_4\times a_6$의 값을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 수열의 극한
$a_n=Ar^{n-1}$이라 두면 $A>0$, $r<0$이고 급수의 수렴을 위해 $|r|<1$이다. 따라서 $|a_n|$은 감소한다. $|a_n|\ge 10$인 초기 항의 개수를 $m$이라 하면 다음과 같다.
해설
정답 81$a_n=Ar^{n-1}$이라 두면 $A>0$, $r<0$이다. 급수가 수렴하려면 $|r|<1$이어야 하므로 $|a_n|$은 감소한다. $|a_n|\ge10$인 항의 개수를 $m$이라 하자.
- $m=0$: 모든 $b_n=a_n^2$이므로 조건 (가)에서 $A=6$이지만, 급수의 합은 $36/(1-r^2)>36$이어서 12가 될 수 없다.
- $m=1$: $b_2=A^2r^2$, $b_3=A^2r^4$이므로 조건 (가)에서 다시 $A=6$이 되어 $A\ge10$과 모순이다.
- $m\ge3$: $b_2=A(r-1)$, $b_3=A(r^2-1)<0$인데 $(b_2)^2\ge0$이므로 조건 (가)가 성립할 수 없다.
따라서 $m=2$, 즉 가능한 경우는 오직
$$|a_2|\ge10,\qquad |a_3|<10$$
이다. 이때
$$b_2=A(r-1),\qquad b_3=A^2r^4.$$
$(b_2)^2=36b_3$에서 $(1-r)^2=36r^4$이고 $r<0$이므로 $1-r=6r^2$, 따라서 $r=-\frac12$이다.
이제
$$b_1=0,\quad b_2=-\frac{3A}{2},\quad \sum_{n=3}^{\infty}b_n =A^2\sum_{n=3}^{\infty}r^{2(n-1)} =\frac{A^2}{12}.$$
합이 12이므로
$$-\frac{3A}{2}+\frac{A^2}{12}=12,$$
$A=24$이다. 따라서
$$36a_4a_6=36A^2r^8=36\cdot24^2\cdot\frac1{256}=81.$$
미적분 30번
4점함수
$$f(x)=2^{\,2x+\frac12\cos\pi x}$$
의 역함수 $g(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속인 도함수를 갖는다.
$$ \frac14\int_{f(1)}^{f(3)}g(x)\,dx +\int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g'(x)}{x}\,dx =\frac{q}{p}\sqrt2 $$
일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 적분법
정수에서 $f(0)=\sqrt{2}$, $f(1)=2\sqrt{2}$, $f(2)=16\sqrt{2}$, $f(3)=32\sqrt{2}$이다. 역함수 적분 공식으로 첫 적분은
해설
정답 49정수에서의 함수값은
$$f(0)=\sqrt2,\quad f(1)=2\sqrt2,\quad f(2)=16\sqrt2,\quad f(3)=32\sqrt2.$$
역함수 적분 공식으로
$$ \int_{f(1)}^{f(3)}g(x)dx =3f(3)-f(1)-\int_1^3f(t)dt =94\sqrt2-\int_1^3f(t)dt. $$
둘째 적분에서 $x=f(t)$로 치환하면
$$ \int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g'(x)}x\,dx =\int_0^2 2^{2t-\frac12\cos\pi t}\,dt=:I. $$
한편 첫째 적분에 남은 적분은 $t=u+1$로 치환하여
$$\int_1^3f(t)dt=4I.$$
따라서 주어진 식은
$$\frac14(94\sqrt2-4I)+I=\frac{47}{2}\sqrt2.$$
즉 $(p,q)=(2,47)$이고 $p+q=49$이다.
기하 23번
2점두 벡터 $\vec a=(k,2)$, $\vec b=(k,3)$에 대하여 $2\vec a+\vec b$의 모든 성분의 합이 10일 때, $k$의 값은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 평면벡터·공간좌표
$2\vec{a}+\vec{b}=(3k,7)$이고 성분의 합이 $10$이므로 $3k+7=10$이다. 따라서 $k=1$, 답은 ①이다.
해설
정답 ①$2\vec a+\vec b=(3k,7)$이므로 성분의 합은 $3k+7=10$. 따라서 $k=1$이다.
기하 24번
3점좌표공간의 두 점 $\mathrm A(a,-4,0)$, $\mathrm B(6,b,5)$에 대하여 선분 AB를 $3:2$로 내분하는 점의 좌표가 $(4,-1,3)$일 때, $a+b$의 값은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 평면벡터·공간좌표
주어진 내분점은 $(2A+3B)/5=(4,-1,3)$이다. $x$, $y$성분을 비교하면 각각 $a=1$, $b=1$이므로 $a+b=2$, 답은 ②이다.
해설
정답 ②내분점은
$$\frac{2A+3B}{5}=(4,-1,3).$$
$x$좌표에서 $2a+18=20$이므로 $a=1$, $y$좌표에서 $-8+3b=-5$이므로 $b=1$. 따라서 $a+b=2$이다.
기하 25번
3점두 초점이 $\mathrm F(c,0)$, $\mathrm F'(-c,0)\,(c>0)$이고 단축의 길이가 6인 타원이 점 $(4,\sqrt5)$를 지날 때, 선분 $\mathrm{FF'}$의 길이는?
① $4\sqrt2$
② $4\sqrt3$
③ $6\sqrt2$
④ $6\sqrt3$
⑤ $8\sqrt2$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 이차곡선
단축의 길이가 $6$이므로 $b=3$이다. 타원이 $(4,\sqrt{5})$를 지난다는 조건에서 $a^{2}=36$, 따라서 $c^{2}=a^{2}-b^{2}=27$이고 두 초점 사이 거리는 $2c=6\sqrt{3}$이므로 답은 ④이다.
해설
정답 ④단축의 길이가 6이므로 $b=3$이다. 장반경을 $a$라 하면 점 $(4,\sqrt5)$를 지나므로
$$\frac{16}{a^2}+\frac59=1,$$
$a^2=36$이다. $c^2=a^2-b^2=27$이므로
$$FF'=2c=6\sqrt3.$$
기하 26번
3점그림과 같이 밑면의 지름의 길이가 6, 높이가 3인 원기둥이 있다. 선분 AB는 이 원기둥의 한 밑면의 지름이고, C, D는 다른 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점이다. $\overline{BC}=3$, $\overline{CD}=2\sqrt6$일 때, 삼각형 ABD의 넓이는?
① $3\sqrt{13}$
② $3\sqrt{14}$
③ $3\sqrt{15}$
④ 12
⑤ $3\sqrt{17}$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 공간도형
원기둥의 반지름은 $3$이다. 현 $CD$에서 $\cos\theta =-1/3$을 얻고 좌표를 잡으면 점 $D$에서 직선 $AB$까지의 거리는 $\sqrt{17}$이다. 밑변 $AB=6$이므로 삼각형 $ABD$의 넓이는 $3\sqrt{17}$, 답은 ⑤이다.
해설
정답 ⑤원기둥의 반지름은 3이다. 위쪽 밑면에서 $\angle COD=\theta$라 하면
$$CD^2=18(1-\cos\theta)=24,$$
따라서 $\cos\theta=-\frac13$, $\sin^2\theta=\frac89$이다. 좌표를
$$A=(-3,0,0),\quad B=(3,0,0),\quad D=(3\cos\theta,3\sin\theta,3)$$
로 잡으면 D에서 직선 AB까지의 거리는
$$\sqrt{9\sin^2\theta+3^2}=\sqrt{8+9}=\sqrt{17}.$$
따라서 삼각형 ABD의 넓이는 $\frac12\cdot6\cdot\sqrt{17}=3\sqrt{17}$이다.
기하 27번
3점양수 $p$에 대하여 포물선 $y^2=4px$ 위에 있는 제1사분면 위의 점 중 초점까지의 거리가 $3p$인 점을 A라 하자. 포물선 위의 점 A에서의 접선을 $l$이라 할 때, 직선 $l$이 $y$축과 만나는 점을 B, 직선 $l$과 수직이고 점 A를 지나는 직선이 $y$축과 만나는 점을 C라 하자. 삼각형 ACB의 넓이가 $16\sqrt2$일 때, $p$의 값은?
① $\frac{2\sqrt3}{3}$
② $\sqrt3$
③ $\frac{4\sqrt3}{3}$
④ $\frac{5\sqrt3}{3}$
⑤ $2\sqrt3$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 이차곡선
포물선의 정의에서 $A=(2p,2\sqrt{2}p)$이고, $A$에서의 접선과 이에 수직인 직선을 이용하면 $B=(0,\sqrt{2}p)$, $C=(0,4\sqrt{2}p)$이다. 넓이 조건 $3\sqrt{2}p^{2}=16\sqrt{2}$에서 $p=4\sqrt{3}/3$이므로 답은 ③이다.
해설
정답 ③포물선 위의 점에서 초점까지의 거리는 준선까지의 거리 $x+p$이다. $x+p=3p$이므로 $x=2p$이고
$$A=(2p,2\sqrt2p).$$
A에서의 접선은 $y=\frac{x+2p}{\sqrt2}$이므로 $B=(0,\sqrt2p)$이다. 이에 수직이고 A를 지나는 직선에서 $C=(0,4\sqrt2p)$이다. 따라서
$$[\triangle ACB]=\frac12(3\sqrt2p)(2p)=3\sqrt2p^2=16\sqrt2.$$
$p=\frac4{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}$이다.
기하 28번
4점좌표공간에 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 구 $S$ 위의 서로 다른 네 점 A, B, C, D가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 직선 OD와 평면 ABC는 서로 평행하다.
(나) $\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=\overline{BD}=\overline{CD}$
삼각형 OAB의 평면 OAC 위로의 정사영의 넓이는?
① $\frac{\sqrt2}{2}$
② $\frac{3\sqrt2}{4}$
③ $\sqrt2$
④ $\frac{5\sqrt2}{4}$
⑤ $\frac{3\sqrt2}{2}$
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 공간도형
정삼각형 ABC의 외접원 반지름을 $R$, 평면 ABC와 O 사이의 거리를 $h$라 하면 $h^{2}+R^{2}=9$, 공통 변의 길이는 $\sqrt{3}R$이다. $D=(3,0,0)$, 평면 ABC를 $z=h$로 놓고 $BD=CD=\sqrt{3}R$을 적용하면 B, C의 $x$좌표는 $3-R^{2}/2$; 현 BC의 길이 조건에서는 같은 좌표가 $\pm R/2$이다. 이를 풀면 $R=2$ 또는 $3$인데, $R=3$이면 평면 ABC가 O를 지나 OD와 만나므로 제외한다. 따라서 $R=2$, $h=\sqrt{5}$이다.
해설
정답 ②공통인 변의 길이를 $s$, 평면 ABC와 O 사이의 거리를 $h$라 하자. 정삼각형 ABC의 외접원의 반지름은 $R=s/\sqrt3$이므로
$$h^2+R^2=9.$$
직선 OD가 평면 ABC와 평행하므로 좌표축을 잡아 $D=(3,0,0)$, 평면 ABC를 $z=h$로 둘 수 있다. $BD=CD=s$에서 B, C의 $x$좌표는 모두 $3-R^2/2$이다. 한편 원 $x^2+y^2=R^2$ 위의 현 BC의 길이가 $s=\sqrt3R$이므로 그 현의 $x$좌표는 $\pm R/2$이다. 이를 결합하면 $R=2$ 또는 $3$인데, $R=3$이면 평면 ABC가 O를 지나 직선 OD와 만나므로 평행 조건에 어긋난다. 따라서 $R=2$, $h=\sqrt5$, $s=2\sqrt3$이다.
좌표를
$$A=(-2,0,\sqrt5),\quad B=(1,\sqrt3,\sqrt5),\quad C=(1,-\sqrt3,\sqrt5)$$
로 둘 수 있다. 이때 $OA=OB=OC=3$이고 세 내적은 모두 $3$이므로 $\triangle OAB$의 넓이는
$$\frac12\times3\times3\times\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=3\sqrt2.$$
두 평면 OAB, OAC에서 공통 직선 OA에 각각 수직인 벡터를
$$\vec u=\vec{OB}-\frac13\vec{OA},\qquad \vec v=\vec{OC}-\frac13\vec{OA}$$
라 하면 $|\vec u|^2=|\vec v|^2=8$, $\vec u\cdot\vec v=2$이다. 따라서 두 평면이 이루는 각을 $\theta$라 할 때 $|\cos\theta|=1/4$이다. 정사영의 넓이는 원래 넓이의 $|\cos\theta|$배이므로
$$3\sqrt2\times\frac14=\frac{3\sqrt2}{4}.$$
기하 29번
4점두 초점이 $\mathrm F(c,0)$, $\mathrm F'(-c,0)\,(c>0)$인 쌍곡선
$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(b>0)$$
이 있다. 점 $\mathrm P(0,p)\,(p>0)$에 대하여 이 쌍곡선과 두 선분 PF, PF'이 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 두 초점이 A, B인 타원이 두 점 F, P를 지난다. 점 P를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 AF'과 만나는 점을 C라 하자. $\angle\mathrm{APF'}=\angle\mathrm{APC}$일 때, 삼각형 ACP의 둘레의 길이를 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 이차곡선
PC는 $x$축과 평행하다. $\theta =\angle APC$라 하면 조건과 방향 관계에서 $\angle F'PC=2\theta $, $\theta +2\theta =180°$이므로 $\theta =60°$; 따라서 $p/c=\sqrt{3}$이다.
해설
정답 60점 C는 P를 지나고 $x$축에 평행한 직선 위에 있으므로 PC는 $x$축과 평행하다. $\theta=\angle APC$라 하면 조건 $\angle APF'=\angle APC$와 P에서의 방향 관계로 $\angle F'PC=2\theta$이고, $\theta+2\theta=180^\circ$이다. 따라서 $\theta=60^\circ$이고
$$\frac{p}{c}=\sqrt3,$$
즉 $p=\sqrt3c$이다. A를 선분 PF 위에서
$$A=P+\lambda(F-P)$$
로 나타내자. 대칭성에 의해 $B$는 A의 $y$축 대칭점이다. 이때 $PF=2c$이고
$$PA+PB=4\lambda c,$$
$$FA=2c(1-\lambda),\qquad FB=2c\sqrt{\lambda^2-\lambda+1}.$$
초점이 A, B인 타원이 F와 P를 지난다는 조건, 즉
$$FA+FB=PA+PB$$
를 쓰면
$$1-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\lambda+1}=2\lambda.$$
양변을 정리해 제곱하면 $\lambda=\frac58$을 얻는다. 따라서
$$A=\left(\frac{5c}{8},\frac{3\sqrt3c}{8}\right).$$
A가 쌍곡선 위에 있고 $c^2=16+b^2$이므로 대입하여 $b^2=48$, $c=8$을 얻는다. 따라서
$$P=(0,8\sqrt3),\qquad A=(5,3\sqrt3).$$
직선 AF'과 $y=8\sqrt3$의 교점은 $C=(\frac{80}{3},8\sqrt3)$이다. 그러므로
$$AP=10,\qquad AC=\frac{70}{3},\qquad CP=\frac{80}{3},$$
삼각형 ACP의 둘레는 $60$이다.
기하 30번
4점평면 $\alpha$ 위에 있는 사다리꼴 ABCD가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\overline{AB}=24$, $\overline{AD}=\overline{BC}=13\sqrt2$, $\angle ABC=\angle BAD<\frac\pi2$
(나) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$
$$ \overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{XD} =\overrightarrow{XB}\cdot\overrightarrow{XC}=0 $$
을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 모든 점 X에 대하여 $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AX}$의 값의 합을 구하시오.
출제 단원과 핵심 포인트
단원: 평면벡터·공간좌표
$A=(0,0)$, $B=(24,0)$, $D=(u,h)$, $C=(24-u,h)$로 놓는다. $AD=BC=13\sqrt{2}$에서 $u^{2}+h^{2}=338$, 조건 (나)에서 $u^{2}-24u+119=0$이다.
해설
정답 457$A=(0,0)$, $B=(24,0)$으로 두고
$$D=(u,h),\qquad C=(24-u,h)$$
로 놓는다. $AD=BC=13\sqrt2$에서
$$u^2+h^2=338.$$
조건 (나)를 대입하면
$$u^2-24u+119=0.$$
한편
$$\vec{XA}\cdot\vec{XD}=0$$
은 지름이 AD인 원, $\vec{XB}\cdot\vec{XC}=0$은 지름이 BC인 원을 나타낸다. 두 원은 반지름이 같고 중심의 $y$좌표도 같으므로 두 교점 $X_1,X_2$는 모두 $x=12$ 위에 있으며, 두 $y$좌표의 합은 $h$이다.
따라서
$$ \sum_{i=1}^2\vec{AD}\cdot\vec{AX_i} =24u+h^2 =24u+338-u^2 =338+119=457. $$
문제지와 정답 PDF
최종 정답표
| 구분 | 번호 | 최종 정답 |
|---|---|---|
| 공통 | 1~15 | ④, ③, ②, ②, ①, ⑤, ②, ③, ①, ③, ③, ④, ⑤, ⑤, ④ |
| 공통 | 16~22 | 6, 11, 38, 15, 17, 12, 97 |
| 확률과 통계 | 23~30 | ①, ④, ⑤, ②, ③, ⑤, 190, 170 |
| 미적분 | 23~30 | ④, ①, ③, ②, ⑤, ④, 81, 49 |
| 기하 | 23~30 | ①, ②, ④, ⑤, ③, ②, 60, 457 |
출제 구조와 상세 분석
2.1 전체 구조
| 영역 | 문항 | 문항 수 | 배점 |
|---|---|---|---|
| 공통 과목 | 1~22 | 22 | 74점 |
| 선택 과목 | 23~30 | 8 | 26점 |
| 합계 | 1~30 | 30 | 100점 |
공통 과목은 수학Ⅰ과 수학Ⅱ가 각각 11문항, 37점으로 정확히 균형을 이룬다. 선택 과목도 각 과목의 세 대단원에 점수를 고르게 배치했다.
2.2 공통 과목 단원 분포
| 과목 | 해당 문항 | 문항 수 | 배점 |
|---|---|---|---|
| 수학Ⅰ | 1, 3, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 | 11 | 37점 |
| 수학Ⅱ | 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 | 11 | 37점 |
| 배점 | 해당 문항 | 문항 수 | 총점 |
|---|---|---|---|
| 2점 | 1~2 | 2 | 4점 |
| 3점 | 3~8, 16~19 | 10 | 30점 |
| 4점 | 9~15, 20~22 | 10 | 40점 |
2.3 확률과 통계 단원 분포
| 대단원 | 해당 문항 | 배점 |
|---|---|---|
| 경우의 수 | 23, 25, 29 | 9점 |
| 확률 | 24, 26, 28 | 10점 |
| 통계 | 27, 30 | 7점 |
2.4 미적분 단원 분포
| 대단원 | 해당 문항 | 배점 |
|---|---|---|
| 수열의 극한 | 25, 29 | 7점 |
| 미분법 | 23, 27, 28 | 9점 |
| 적분법 | 24, 26, 30 | 10점 |
2.5 기하 단원 분포
| 대단원 | 해당 문항 | 배점 |
|---|---|---|
| 이차곡선 | 25, 27, 29 | 10점 |
| 평면벡터·공간좌표 | 23, 24, 30 | 9점 |
| 공간도형 | 26, 28 | 7점 |
선택 과목은 모두 23번 2점, 24~27번 3점, 28~30번 4점으로 구성된다. 앞부분의 기본 개념과 뒷부분의 종합 추론을 분명히 구분한 전형적인 평가원 배열이다.
4.1 전체 평가
전체 난이도: 중상
공통 1~12번은 개념과 계산의 안정성을 점검하는 평이한 흐름이지만, 13~15번에서 조건 해석의 밀도가 높아지고 20~22번에서 상위권 변별이 본격화된다. 선택 과목도 28~30번에 각 과목 고유의 복합 추론을 배치했다.
시행 당일 평가는 기관별로 기준점에 따라 다소 갈렸다. EBS는 전년도 9월 모의평가 및 전년도 수능과 비슷한 수준으로 보았고, 대성학원은 지난해 수능과 6월 모의평가보다 조금 어렵다고 평가했다. 종로학원은 6월보다 어렵지만 지난해 수능과는 비슷하거나 다소 쉽다고 보았다. 공통된 결론은 쉽게 출제된 6월보다 공통과목 부담이 커졌고, 상위권 변별의 중심이 공통 21·22번에 있었다는 점이다. 뉴시스·EBS 분석 · 대성학원 분석 · 종로학원 분석
4.2 구간별 난이도
| 구간 | 예상 난도 | 특징 |
|---|---|---|
| 공통 1~8 | 하~중하 | 기본 정의·공식의 정확한 적용 |
| 공통 9~12 | 중 | 두 개념 연결, 그래프·정적분 해석 |
| 공통 13~15 | 중상~상 | 매개변수, 경계값, 경우 분류 |
| 공통 16~19 | 중 | 단답형 계산 정확성 |
| 공통 20~22 | 상 | 표현 전환과 다단계 추론 |
| 선택 23~27 | 중 | 선택 과목 기본 개념과 전형적 응용 |
| 선택 28~30 | 중~중상 | 과목별 종합 추론, 일부 문항의 계산량 |
4.3 선택 과목별 체감
| 선택 | 예상 난도 | 주요 부담 |
|---|---|---|
| 확률과 통계 | 중 | 28번 상태 전이, 29번 포함배제 |
| 미적분 | 중~중상 | 28번 변화율의 기하 해석과 계산량 |
| 기하 | 중~중상 | 29번 복합 이차곡선, 그림이 불완전한 상황 해석 |
종로학원은 세 선택과목 모두 크게 어려운 문항은 없었다고 평가했고, 대성학원도 선택과목을 지난해 수능·6월과 대체로 비슷한 수준으로 보았다. 다만 미적분 28번의 계산량과 기하 29·30번의 상황 구성은 각 선택 안에서 상대적으로 까다롭다. 선택 과목끼리의 유불리는 원점수 난도만으로 단정할 수 없으며, 실제 표준점수는 각 선택 집단의 공통 점수 분포와 조정 절차에 의해 달라진다. 대성학원 분석 · 종로학원 분석
5. 주요 변별 문항
| 문항 | 핵심 개념 | 변별 요소 |
|---|---|---|
| 공통 13 | 절댓값·정적분·일차함수 | 대칭적 적분과 조건에 맞는 함수 구성 |
| 공통 14 | 완전세제곱수·수열의 합 | 분수 부분을 만드는 항의 선별과 구간 계수 |
| 공통 15 | 함수의 극한·이차함수 | 분모의 판별식 경계와 분자의 영점 차수 |
| 공통 20 | 삼각함수 그래프·넓이 | 교점 정렬과 좌표의 도형화 |
| 공통 21 | 미분 가능성 | 절댓값 뾰족점의 좌우미분계수 상쇄 |
| 공통 22 | 지수·로그 그래프 | 평행이동과 직사각형 조건의 좌표화 |
| 확통 28 | 조건부확률·상태 전이 | 분모 사건을 고정한 순차 계수 |
| 확통 29 | 중복조합·포함배제 | 양의 정수해와 금지 조건 처리 |
| 확통 30 | 기댓값·분산 | 합의 이차 기댓값 구조 활용 |
| 미적 28 | 매개변수 미분 | 도형 조건을 한 변수로 통일 |
| 미적 29 | 등비수열·무한급수 | 조각 조건과 수렴 경계 검토 |
| 미적 30 | 역함수·정적분 | 대응 구간에 의한 적분 소거 |
| 기하 28 | 공간벡터·정사영 | 이면각의 코사인과 정사영 넓이 |
| 기하 29 | 타원·쌍곡선 | 두 초점 성질의 통합 |
| 기하 30 | 원·평면벡터 | 두 원의 방정식 차와 교점 조건 결합 |
가장 강한 공통 변별 문항은 21번과 22번으로 판단한다. 21번은 국소적 미분 가능성, 22번은 그래프의 전역적 관계를 묻기 때문에 서로 다른 사고 능력을 가른다.
6. 이 시험이 중점을 둔 능력
6.1 조건을 수학적 경계로 바꾸는 능력
‘모든 실수에서 극한이 존재한다’는 조건을 분모·분자의 영점 차수로, ‘미분 가능하다’는 조건을 좌우미분계수의 일치로 바꾸어야 했다. 공통 15번과 21번이 대표적이다. 13번은 이와 달리 정적분의 대칭성과 절댓값을 이용해 조건을 만족하는 일차함수를 직접 구성하는 능력을 묻는다.
6.2 표현을 바꾸는 능력
식만 오래 계산하는 학생보다 다음과 같이 표현을 전환하는 학생에게 유리하다.
- 삼각함수 식 → 교점 좌표와 넓이
- 지수·로그 식 → 평행이동된 그래프
- 주사위 시행 → 배열 상태의 전이
- 역함수 적분 → 대응 직사각형의 넓이
- 공간도형 → 벡터의 정사영
6.3 경계와 예외를 끝까지 확인하는 능력
수열의 수렴 경계, 분모 판별식 $0$, 정의역, 조건부확률의 분모, 중근과 단순근처럼 한 조건이 답을 바꾸는 문항이 반복된다. 이번 시험은 계산 속도만큼 검산 습관을 평가한다.
6.4 복합 문제를 작은 구조로 분해하는 능력
확통 28번은 시행별 상태로, 기하 30번은 두 원의 차로, 미적 30번은 함수와 역함수의 대응 구간으로 나누면 해결된다. 복잡한 외형을 그대로 밀어붙이지 않고 핵심 구조를 먼저 추출해야 한다.
수능까지의 학습 방향
8.1 ‘킬러 한 문제’보다 누적되는 중상 난도
이번 시험은 마지막 한두 문항만 포기하면 나머지가 자동으로 풀리는 구조가 아니다. 공통 13~15번에서 첫 시간 손실이 발생하고, 20~22번에서 다시 고강도 추론을 요구한다. 선택 과목은 전반적으로 공통보다 평이했지만 28~30번이 서로 다른 개념을 사용하므로 한 가지 유형 훈련만으로 모두 방어하기는 어렵다.
8.2 정답을 가르는 것은 계산량보다 모델 선택
- 공통 13번: 개별 적분 계산보다 $x=1$ 중심의 대칭 구조
- 공통 21번: 전개보다 절댓값의 국소 형태
- 공통 22번: 연립보다 평행이동
- 확통 28번: 전수 나열보다 상태 전이
- 미적 30번: 역함수 계산보다 적분 항등 관계
- 기하 30번: 두 원 개별 풀이보다 방정식의 차
출제자는 복잡한 표면 아래에서 더 짧고 본질적인 표현을 찾아낼 수 있는지를 본 것으로 해석된다.
8.3 중위권 변별 방식
중위권에서는 공통 9~15번과 16~19번의 완성도가 점수대를 크게 가를 가능성이 높다. 상위권에서는 공통 21·22번의 해결 여부가 직접적인 변별 요소다. EBS의 ‘중난도 문항을 통한 중위권 변별’과 대성·종로의 ‘공통과목 중심 상위권 변별’은 서로 모순되기보다 서로 다른 점수대를 설명한다. 뉴시스·EBS 분석 · 대성학원 분석 · 종로학원 분석
8.4 선택 과목의 균형 설계
세 선택 과목 모두 특정 단원만 집중 공략해 고득점하기 어렵게 구성됐다. 확률과 통계는 경우의 수·확률·통계를, 미적분은 극한·미분·적분을, 기하는 이차곡선·벡터·공간도형을 고르게 배치했다. 28~30번 역시 서로 다른 대단원의 대표 사고를 요구한다.
8.5 대표적인 오답 설계
| 오답 유발 장치 | 대표 문항 | 잘못된 접근 |
|---|---|---|
| 영점 차수·경우 누락 | 공통 15, 미적 29 | 분모 중근과 분자 영점 차수 또는 $\lvert a_n\rvert \ge 10$ 구간을 무검토 |
| 국소·전역 혼동 | 공통 21 | 연속이면 미분 가능하다고 판단 |
| 좌표 관계 누락 | 공통 20, 22 | 교점의 일부 좌표만 사용 |
| 분모 사건 혼동 | 확통 28 | 조건부확률을 전체 표본공간으로 계산 |
| 평균과 이차 기댓값 혼동 | 확통 30 | $E(S^2)$를 $\{E(S)\}^2$로 계산 |
| 도형의 시각적 추측 | 기하 28~30 | 정사영·거리 조건 없이 그림 비율로 판단 |
9. 학습 우선순위
9.1 1순위: 공통 중난도 무실점 훈련
공통 9~15번과 16~19번을 제한 시간 안에 정확히 해결하는 훈련이 가장 중요하다. 21·22번을 맞히더라도 앞 문항의 계산 실수가 누적되면 안정적인 1등급을 기대하기 어렵다.
9.2 2순위: 조건을 경계식으로 번역하기
다음 대응을 즉시 떠올릴 수 있어야 한다.
- 모든 점에서 극한 존재 → 분모의 판별식과 분자의 영점 차수
- 미분 가능 → 좌우미분계수 일치
- 무한급수 수렴 → 공비의 절댓값 확인
- 조건부확률 → 조건 사건으로 표본공간 재설정
- 정사영 넓이 → 원래 넓이와 이면각의 코사인
9.3 3순위: 선택 과목 28~30번의 단원별 독립 대비
세 문항이 하나의 공통 풀이법으로 묶이지 않는다. 각 대단원의 고난도 대표 도구를 따로 정리해야 한다.
- 확통: 상태 전이, 포함배제, 기댓값·분산
- 미적: 매개변수 미분, 급수 수렴, 역함수 적분
- 기하: 정사영, 초점 거리, 두 원의 방정식 차
9.4 4순위: 검산 절차의 고정
답을 낸 뒤 다음 네 가지를 짧게 확인하는 습관이 필요하다.
- 정의역과 범위를 모두 반영했는가
- 경계값을 포함하거나 제외해야 하는가
- 서로 다른 해·대상을 중복 계산하지 않았는가
- 단답형에서 문제의 최종 요구값까지 변환했는가
자주 묻는 질문
문제지와 정답지는 어디에서 내려받나요?
본문의 ‘문제지와 정답 PDF’에서 각각 내려받을 수 있습니다.
시험지 PNG와 HTML 텍스트의 차이는 무엇인가요?
시험지 PNG는 평가원 원본 지면을 그대로 보여주고, HTML 텍스트는 화면 크기에 맞춰 읽거나 문제 내용을 검색·복사할 때 편리합니다.
선택 과목 해설도 모두 있나요?
확률과 통계, 미적분, 기하 23~30번을 모두 수록했습니다.
문제만 따로 볼 수 있나요?
문항별 해설 위의 보기 방식에서 ‘문제만’을 선택하면 해설이 가려집니다.