SNarGPT 활용가이드 1편 - 수능 특화 AI 학습 파트너

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

- (가) $a_1 + a_2 < 10$

- (나) 수열 $\{a_n\}$의 정수인 항의 개수는 3이고, 이 세 항의 곱은 216이다.

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.

(단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

▪︎ 무한등비급수 수렴이므로 공비 $r$은 유리수이면서 $-1 < r < 1$.

▪︎ 정수 항이 정확히 3개라는 점을 이용. 연속한 세 항 $a_m, a_{m+1}, a_{m+2}$만 정수라고 두면:

$a_m \cdot (a_m r) \cdot (a_m r^2) = a_m^3 r^3 = 216$

$\Rightarrow (a_m r)^3 = 216 \Rightarrow a_m r = 6$

따라서 $a_{m+1} = 6$, 그리고 $a_m a_{m+2} = 36$

▪︎ 정수 쌍이면서 $|a_m| > |a_{m+2}|$이므로 가능한 절댓값은 (36,1), (18,2), (12,3), (9,4).

$a_m = 9$이면 $r = \pm 2/3$이 가능하며, 이때만 정수 항이 정확히 3개.

▪︎ (가)를 적용하면 $r = 2/3$은 불가 (조건 위배). $r = -2/3$만 가능.

$6 = a_1 r^m \Rightarrow a_1 = 6(3/2)^m$

$a_1(1+r) = a_1/3 < 10 \Rightarrow a_1 < 30 \Rightarrow m=2$

따라서 $a_1 = 27/2$

▪︎ 급수의 합:

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r} = \frac{27/2}{5/3} = \frac{81}{10}$

따라서 $(p,q) = (10,81)$이고 $p+q = 91$