2027학년도 6월 모의평가 수학 문제 및 해설 | 정답·시험지·46문항 풀이

문제

1. $\sqrt[3]{9}\times 3^{-\frac{5}{3}}$의 값은? [2점]

문제

2. 함수 $f(x)=3x^2-x+1$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$의 값은? [2점]

문제

3. 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여

일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k$의 값은? [3점]

문제

4. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.

$\displaystyle \lim_{x\to -1-}f(x)+\lim_{x\to 1+}f(x)$의 값은? [3점]

문제

5. 함수 $f(x)=(3x-1)(x^2-2x+2)$에 대하여 $f'(2)$의 값은? [3점]

문제

6. $\displaystyle \frac{3\pi}{2}<\theta<2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\cos^2\theta=\frac{1}{10}$일 때, $\tan\theta$의 값은? [3점]

문제

7. 함수 $f(x)=x^3+ax+9$는 $x=-1$에서 극대이다. 함수 $f(x)$의 극솟값은? (단, $a$는 상수이다.) [3점]

문제

8. 삼각형 ABC에서

일 때, 선분 AC의 길이는? [3점]

문제

9. 시각 $t=0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다. 시각이 $t(t\ge 0)$일 때 두 점 P, Q의 속도가 각각

이다. 출발한 후 시각 $t=k$에서 두 점 P, Q의 위치가 같아질 때, 양수 $k$의 값은? [4점]

문제

10. 두 양수 $a$, $b$가

를 만족시킬 때, $\displaystyle \frac{a}{b}$의 값은? [4점]

문제

11. 일차함수 $f(x)$에 대하여

의 값이 $a=0$일 때 존재하고 $a=3$일 때 존재하지 않는다. $f(4)$의 값은? [4점]

문제

12. 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$이

을 만족시킬 때, $a_1\times a_6$의 값은? [4점]

문제

13. 두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)>g(x)$를 만족시키고, $f(1)=g(1)+1$이다. 양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=0$, $x=t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때,

이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$는 상수이다.) [4점]

<보기>

ㄱ. $a=1$

ㄴ. $S(3)=6$

ㄷ. 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=-2$, $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S(4)$의 값과 같다.

문제

14. 양수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 $0\le x\le 2$일 때 $x$에 대한 방정식

의 서로 다른 실근의 개수는 $15$이다. $a+b$의 값은? [4점]

문제

15. 상수항이 $0$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \int_p^{p+3}|f(x)|\,dx \ne \left|\int_p^{p+3} f(x)\,dx\right|$가 되도록 하는 모든 실수 $p$의 값의 범위는 $0<p<3$이다.

(나) $\displaystyle \int_0^3 |f(x)+q|\,dx \ne \left|\int_0^3 (f(x)+q)\,dx\right|$가 되도록 하는 모든 실수 $q$의 값의 범위는 $0<q<1$이다.

$f'(6)$의 값은? [4점]

문제

16. 방정식 $3^{x-6}=\left(\frac{1}{9}\right)^x$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

문제

17. 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=6x^2+5$이고 $f(0)=3$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]

문제

18. 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여

일 때, $a_1$의 값을 구하시오. [3점]

문제

19. 곡선 $y=x^3-5x^2+3x+6$ 위의 점 $(1,5)$에서의 접선의 $y$절편을 구하시오. [3점]

문제

20. 그림과 같이 $1$보다 큰 실수 $b$에 대하여 두 함수 $f(x)=b^x$과 $g(x)=-\log_b x$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점 P의 좌표를 $(\alpha,\beta)$라 하자.

다음은 $\alpha\beta^3=1$일 때, 직선 OP의 기울기 $m$에 대하여 $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. (단, O는 원점이다.)

제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(\alpha,\beta)$는 두 곡선

위의 점이므로, 두 양수 $\alpha$, $\beta$가

를 만족시킨다.

$\alpha\beta^3=1$이고 $\alpha=\log_b\beta$, $\beta=-\log_b\alpha$이므로

이다. 그러므로 $m=\dfrac{\beta}{\alpha}=\boxed{\text{(가)}}$이다.

이므로 $\beta=\boxed{\text{(나)}}$이다.

$b=\alpha^{-\frac{1}{\beta}}$이고 $\alpha=\dfrac{\beta}{m}$이므로

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$이라 할 때, $(p\times q\times r)^2$의 값을 구하시오. [4점]

문제

21. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 있다. 실수 $t$에 대하여

를 만족시키는 실수 $\alpha$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t=3$에서만 불연속이고 $g(3)=1$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [4점]

문제

22. 수열 $\{a_n\}$은 $a_1=1$, $a_3=4$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여

를 만족시킨다. $a_k=10$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수를 구하시오. [4점]